Peregrinazioni geometriche #4
Problema 271
Questo problema è stato pubblicato il 28/12/2005, ha 8 soluzioni e livello 4. Il testo è questo:
Costruire i vertici B e C del triangolo di cui sono dati l'angolo A e la lunghezza del lato BC e della bisettrice interna ta dell'angolo A
La figura in Geometriagon è questa:
Provando ad abbozzare una soluzione, ho notato che è immediato disegnare la bisettrice e il suo piede per il quale deve passare il lato BC di lunghezza assegnata: ricordavo che la situazione in cui una retta passante per un punto assegnato deve tagliare in un angolo assegnato un segmento di lunghezza assegnata va sotto il nome, noto nell'antichità, di problema di neusis, in cui più in generale l'angolo può essere sostituito da due linee di qualsiasi forma; in generale il problema non si può risolvere con riga e compasso, però lo si può fare se la riga è graduata e allora si possono risolvere anche i problemi di terzo e quarto grado. Il caso in cui il punto si trova sulla bisettrice fa eccezione e si può affrontare con riga e compasso. Allora ho cercato in Geometriagon se l'avessi proposto e l'ho trovato al numero 645, pubblicato il 10/01/2007 con difficoltà 4.3 e solo 3 soluzioni (stranamente). Perciò nel seguito tratterò questo problema, modificando un po' i nomi dei punti e delle linee per comodità, per cui il testo viene così:
Per un punto P sulla bisettrice di un angolo A e a distanza
t da A, tracciare una retta che incontra i lati nei punti B e C in modo che il segmento BC abbia lunghezza assegnata
a.
La figura (interattiva) in Geogebra può essere questa:
Per la soluzione analitica fisso il punto A nell'origine e l'asse x sulla bisettrice. Allora P ha coordinate (t,0) e i lati dell'angolo hanno equazioni y=mx e y= -mx (m è noto), mentre la retta BC ha equazione y=k(x-t) dove k è l'incognita da trovare. I punti B e C hanno rispettivamente coordinate $B=\left(\frac{kt}{k+m},-\frac{kmt}{k+m} \right)$ e $C=\left(\frac{kt}{k-m},\frac{kmt}{k-m} \right)$ e una volta calcolata la loro distanza l'equazione da risolvere viene $\frac{4k^2m^2t^2(k^2+1)}{\left(k^2-m^2\right)^2}=a^2$. La soluzione che interessa è $k=\frac{m\cdot\sqrt{2t\cdot\sqrt{a^2\cdot(m^2+1)+t^2}+a^2+2t^2}}{\sqrt{a^2-4m^2t^2}}$.
Le dimensioni sono corrette (m e k sono rapporti) e lineari sia a numeratore che a denominatore. La costruzione è un po' laboriosa ma presenta dei passaggi interessanti dal punto di vista didattico e potrebbe servire a rafforzare il significato del coefficiente angolare. Abbiamo il prodotto di segmenti per m e il prodotto per $\sqrt{m^2+1}$ : quest'ultimo in particolare invita a ragionare sul significato dell'unità. Nella figura interattiva seguente cerco di mostrare un modo di costruire i vari pezzi dell'espressione. E' possibile vedere i passi della costruzione mediante i tasti nella barra di navigazione.
Per la soluzione sintetica è opportuno ritornare a una figura modificata del problema 271, fissare il lato BC e trovare la posizione del vertice A in modo che la bisettrice abbia la lunghezza assegnata. La spiegazione fa riferimento alla prossima figura.
Il punto B è preso a piacere e il punto C in modo che BC=a. Tenendo fisso BC il vertice A potrebbe occupare una posizione qualsiasi sulla circonferenza c, e la bisettrice dell'angolo A incontra il cerchio sempre in K, ma la bisettrice AN del triangolo ABC varia e dobbiamo trovare la posizione di A in modo che AN=t. Per il primo teorema di Euclide risulta $KJ\cdot KL=KB^2$ ma il fatto interessante, che ho verificato empiricamente, è che anche $KN\cdot KA=KB^2=KJ\cdot KL$, dovunque si trovi A, e mi ci è voluto un po' per capirne il motivo, fino a quando non ho riscritto l'uguaglianza come proporzione, $KN:KJ=KL:KA$, che traduce il fatto che i triangoli KJN e KAL sono simili (mi mancava il lato AL per capirlo subito). Siccome KB è noto, e KA=KN+AN e AN deve essere uguale a t, sono ricondotto a risolvere questa equazione $KN\cdot(KN+t)=KB^2$: già negli Elementi si trova (II.6 e VI.29) trattata, ovviamente come applicazione di aree come usava Euclide, e la soluzione è semplice $KN=\sqrt{\left(\frac{t}{2}\right)^2+KB^2}-\frac{t}{2}$ e anche facile da costruire. Una volta trovato KN, si ha la posizione di N e quella di A e quindi le dimensioni di AB e AC, che permettono alla fine di posizionare corretamente anche B e C.
La figura qui sotto mostra i passi della costruzione.