L'inizio fu un momento di "disperazione", quando era palpabile il disagio di continuare un discorso sui limiti talmente indigesto per gli studenti, che se ne erano completamente estraniati. Così decisi di provare a smuovere l'interesse con un problema attinente un oggetto che vidi su un armadio: era una scatoletta ottenuta piegando un foglio di carta, adibita a contenere i bigliettini con i nomi da estrarre per le interrogazioni. Colsi l'occasione per proporre un classico problema:

da un rettangolo di carta piegando i bordi ottenere il contenitore di volume massimo.

Partimmo da un foglio reale, lato 21 cm. x 29 cm., e cercammo di impostare il problema.
Chiamando x l'altezza della scatola e V il volume, trovammo la funzione:
  `V(x)=x*(21-2x)*(29-2x)`    da rendere massima.

Si tratta di un problema non adatto all'algebra, nel senso che non è immediato tradurlo in un'equazione, non essendoci due cose che devono diventare uguali.
Questo non significa che non ci siano mezzi per affrontarlo, almeno in modo approssimato.
Quella volta cominciammo con l'aiuto della grafica (perché era la cosa meno impegnativa per i miei studenti), più o meno come si vede qui sotto:

NOTA: in origine qui c'erano due applet java interattive, in cui le figure si potevano muovere nello spazio e i valori di x si potevano variare mediante un cursore. Erano state costruite in modo facile usando l'applet programmabile DESCARTES prodotta in Spagna e largamente utilizzata nelle scuole di quel paese: infatti con essa furono costruite centinaia di unità didattiche interattive di matematica e fisica, che a volte ho mostrato anche nelle mie classi. Purtroppo l'ostracismo per java delle nuove versioni dei browser ha reso inutilizzabile quel patrimonio, e quindi anche le mie due applet, delle quali nelle figure sottostanti mostro solo due istantanee.

Tutto fa pensare che la soluzione ottimale sia 4. Però il metodo grafico non dà la stessa certezza di una formula che, date le dimensioni del foglio, consenta di determinare l'altezza ottimale.
Perciò, in marcia alla ricerca della formula !

Già dal corso di algebra gli studenti sapevano che bisogna procedere per analisi, ponendo la tipica domanda:
"c'è un algoritmo per stabilire se un numero X dato è quello che produce il valore massimo?".
Come in altre situazioni analoghe, fu utile qualche caso specifico della domanda. Per esempio: "come si fa a stabilire, col calcolo, che 2 non è il numero cercato?" Risposta facile: "perché 3 dà un valore più grande" Obiezione: "però 7 dà un valore più piccolo; perché allora 3?"
Questo comincia a generare una piccola discussione, che all'inizio sembra un po' pretestuosa, ma si fa più intricata man mano che si passa a numeri migliori, perché ci si accorge che bisogna ricorrere a spostamenti sempre più piccoli per trovare risultati migliori.

La conclusione a cui giungemmo, osservando il grafico, fu pressappoco questa:
" per sapere se X fornisce il valore massimo basta stabilire se i numeri molto vicini a X danno tutti risultati minori di quello di X " .
Il vero problema che gli studenti cominciarono a cogliere è stabilire il significato di molto vicini e di tutti.
Soprattutto nuovo è il tutti, che marca la differenza con i problemi di algebra, in cui il confronto è sempre con un solo numero: si capisce che stiamo per uscire da un ambiente noto, per finire dove?

Come in circostanze analoghe, al tutti si arriva sostituendo il numero particolare con una lettera per ragionare in generale.Quindi decidemmo di sostituire lo spostamento da X con una lettera, che chiamammo z (perché gli spostamenti piccoli sono per lo più zero virgola ...), e impostammo l'algoritmo per controllare se X dà un massimo:
"X dà un massimo se V(X+z) fornisce valori minori di V(X) per tutti i valori di z vicini a zero" .  

Quindi bisognava calcolare V(X+z) e tenere a mente che z è un numero molto vicino a zero. Il calcolo era immediato: 
V (X + z)  = (X + z) (21 − 2 (X + z)) (29 − 2 (X + z))
 = 4 X ³ + 12 X ² z − 100 X ² + 12 X z ² − 200 X z + 609 X + 4 z ³ − 100 z ² + 609 z
però era arduo trarne qualche conclusione al variare di z.

La svolta consistette nel riscrivere il risultato raggruppando le potenze di z:
V (X + z)  = (4 X ³ − 100 X ² + 609 X) + z (12 X ² − 200 X + 609) + z ² (12 X − 100) + 4 z ³  
ossia
V (X + z)  =

V (X)

 + z (12 X ² − 200 X + 609) + z ² (12 X − 100) + 4 z ³

Su questa cominciammo a fare dei ragionamenti, cercando di capire se 4 fosse realmente il massimo. Sostituendo, ottenemmo:

V (4 + z)

 = 1092 + z − 52 z ² + 4 z ³

e ci chiedemmo se per qualche valore (piccolo) di z questa espressione potesse valere più di 1092.

I miei studenti iniziarono a provare con z=1, z=0.5, z=0.1 e sembrava che non fosse possibile, però uno trovò che 0.01 funzionava e pian piano tutti poterono sperimentare che tutti i valori minori di 0.01 (in valore assoluto) andavano bene.
Si cercò quindi di capire come mai.
Così si notò che le potenze dei numeri molto vicini a 0 decrescono rapidamente e riescono a rendere molto piccolo qualsiasi prodotto in cui siano coinvolte, cosicché il segno dell'espressione z − 52 z ² + 4 z ³ resta fissato dal primo termine z per valori di z abbastanza vicini a zero.
 

Se ne concluse che il termine capace di stabilire se siamo arrivati al massimo è quello di primo grado in z.
Fin che esso è presente, non ci può essere un massimo (o un minimo), perché ha segno diverso dalle due parti del punto in esame.
Tutto andrebbe a posto se quel termine non ci fosse. Allora comanderebbe quello con z² , e avremmo un massimo (o un minimo) perché esso ha lo stesso segno dalle due parti del punto in esame.
Da qui la strategia per trovare il numero cercato: rendere nullo il coefficiente di z, ossia risolvere l'equazione: 12 X ² − 200 X + 609 = 0

Il risultato curioso è che con questo giro siamo ritornati nel mondo familiare dell'algebra, riuscendo ad esprimere il problema con un'equazione.

L'equazione ha due soluzioni: `X_1=25/3-sqrt(673)/6=4.009626076`   e  `X_2=25/3+sqrt(673)/6=12.65704059`
di cui la prima è quella che ci interessa.
Sostituendola nella formula si ottiene:

V (4.009626076 + z)

 = 1092.004811 − 51.88448708 z ² + 4 z ³

da cui si vede che è impossibile migliorare il valore 1092.004811 con valori (piccoli) di z, perché il termine correttivo principale (in z ² ) è sempre negativo.

Abbiamo quindi trovato una strategia per ricondurre i problemi di massimo e minimo al trattamento mediante l'algebra, riassumibile in questo modo:
"data la funzione f(x), per trovare i valori X che la rendono massima o minima (localmente) basta sviluppare f(X+z) secondo le potenze di z, e risolvere l'equazione che si ottiene annullando il coefficiente del termine lineare in z"

Muniti di questo algoritmo, ci dedicammo a trovare massimi e minimi di funzioni razionali intere, anche per fare un po' di esercizio di algebra.

Comparvero anche dei casi interessanti, che misero in luce la bontà didattica del metodo.

Esempi:
Se

f (x)

 = (x − 2) ³  il coefficiente di z si annulla per X=2, però contemporaneamente si annulla anche quello di z ² , ma non quello di z ³ : chiaro che, siccome z ³ cambia segno come z, non si ha né un massimo né un minimo.
Se

f (x)

 = (x − 2) ⁴ si trovava che l'unico coefficiente non nullo era quello di z ⁴ , però questo faceva capire chiaramente che si era in presenza di un minimo (perché positivo).

Avendo in mente la difficoltà incontrata gli anni precedenti a far capire perché bisognasse cercare la prima derivata non nulla e poi distinguere i vari casi per sapere se si aveva un massimo o un minimo, trovai che questo nuovo approccio rendeva la cosa più naturale ed intuitiva.

Domanda: avevamo forse trovato una via nuova per l'Analisi?

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